Entretenimento

oração da matemática

Mestre matemático que estais na sala,
Santificada seja a vossa prova,
Seja de Álgebra ou geometria,
O zero de cada dia não nos dai hoje,
Perdoai as nossas bagunças,
Assim como perdoamos os vossos teoremas,
Não nos deixais cair em recuperação,
Mais nos livrai da reprovação,
Amém

Ave matemático cheio de malícia,
O temor esteja convosco,
Bendita seja a prova de vossa cabeça,
Socorro!!!
Santa cola, mãe do aluno,
Rogai por nos agora
E no choro da má sorte,
Amém.


Piadas sobre matemáticas!!!

Joãozinho desatento

No meio da aula de matemática a professora vê que Joãozinho está distraído e resolve fazer uma pergunta:
— Joãozinho! Quantos ovos tem uma dúzia?
— Não sei, fessora!
— Muito bonito, né? Vê se presta mais atenção na aula!
— Pode deixar, fessora! Será que eu posso fazer uma pergunta pra senhora também?
— Pode! — responde ela, desconfiada. — O que você quer saber?
— A senhora sabe quantas tetas tem uma porca?
— Não! — respondeu a professora, pensativa.
— Viu, fessora? A senhora me pegou pelos ovos e eu te peguei pelas tetas! He, he!

Ensinando matemática
 E na aula de matemática:
- Quantos dedos eu tenho nessa mão, Joãozinho?
- Cinco, professora!
- Se eu tirar três, o que acontece?
- A senhora fica aleijada!

  
Geometria Erótica

O seno e o coseno estavam perdidamente apaixonados.
Um dia, eles se curtiam no departamento de matemática da escola, quando o seno propôs:
- Vamos para um lugarzinho mais privado?
Resolveram ir para o banheiro. Fecharam-se lá dentro, e começaram a fazer as maiores loucuras.
Eram beijos daqui, abraços dali, gemidos, até que de repente, alguém bateu à porta.
Nessa hora, o seno responde ansioso:
- Tangente!

 Matemática Avançada
Se um pedaço de queijo suíço tem muitos buracos, logo quanto mais queijo, mais buracos.
Se cada buraco ocupa o lugar do queijo, logo quanto mais buracos, menos queijo.
Se quanto mais queijo, mais buracos e quanto mais buracos, menos queijo, logo... Quanto mais queijo, menos queijo!

Matemática Sexy
 Dois amigos bebem em um barzinho, quando um deles fala:
- Cara, sexo é pura matemática!
- Matemática? Nossa, eu achei que fosse amor!
- Não! Primeiro você diminui as roupas, depois divide bem as pernas e por último reza para não dar multiplicação.

 Erro de cálculo

 Um homem está no supermercado fazendo compras quando de repente uma bela morena, dos seus trinta e poucos anos vem em sua direção e diz:
- Acho que você é pai de um dos meus meninos!
Estupefato, ele faz um rápido exercício de memória e dispara:
- Você é aquela prostituta com quem fiz sexo, sem camisinha, na despedida de solteiro do Jorge?
- Não. Sou professora de matemática do seu filho Joãozinho!

Exercícios Resolvidos

1 - Sejam os complexos z₁=(2x+1) + yi e z₂=-y + 2i
Determine x e y de modo que z₁ + z₂ = 0
Temos que:
z₁ + z₂ = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2

2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i²
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2

3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z^- = 11/58 - 13i/58

4 - Os módulos de z₁ = x + 20^1/2i e z₂= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?
Então, |z₁= (x² + 20)^1/2 = |z₂ = [(x-2)² + 36}^1/2
Em decorrência,
x² + 20 = x² - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5

5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i² = (-i -i²) = 1 - i
Para a forma trigonométrica, temos que:
r = (1 + 1)^1/2 = 2^1/2
sen t = -1/2^1/2 = - 2^1/2 / 2
cos t = 1 / 2^1/2 = 2^1/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 2^1/2 ( cos 315º + i sen 315º )

06. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:

a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i


07. Se f(z) = z² - z + 1, então f(1 - i) é igual a:

a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i


08. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i² = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)⁴ é um número real?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos


09. Sendo i a unidade imaginária o valor de i¹⁰ + i^-100 é:

a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1


10. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )^-2 é igual a:

a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2

11. A potência (1 - i )¹⁶ equivale a:

a) 8
b) 16 - 4i
c) 16 - 16i
d) 256 - 16i
e) 256

12. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z₁ . z₂|² = 10 então x é igual a:

a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1

13. O módulo do complexo cos a - i . sen a é:

a) -1
b) -i
c) i
d) i4
e) i5

14. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.

3 - 2i; -3 + 2i

15. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x⁸ - 17x⁴ + 16 = 0.

V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}

 
1 - Calcule o número complexo i¹²⁶ + i^-126 + i³¹ - i¹⁸⁰

-3 - i

2 - Sendo z = 5i + 3i² - 2i³ + 4i²⁷ e w = 2i¹² - 3i¹⁵ ,
 
calcule Im(z).w + Im(w).z .

 -3 + 18i

3 - UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z + = 12 + 6i é:
4 + 3i 

4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser:
  3/2

5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:
 -2 + 18i
6) i
7) 3
8) 1 + 2i
9) 50
10) 32i
11) -1 - i


6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹ é:
  i
7) Determine o número natural n tal que (2i)ⁿ + (1 + i)²ⁿ + 16i = 0.
Resp: 3
Clique aqui para ver a solução.

8) Calcule [(1+i)⁸⁰ + (1+i)⁸²] : i⁹⁶.2⁴⁰ 
Resp: 1+2i

9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w é um número real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b² - 2a.
 
Resp: 50

10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x¹⁰ + a = 0 , então calcule o valor de a.
 
Resp: 32i

11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 . + 1 - i = 0. 
Resp: -1 - i


12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x^-1 + x², para x = 1 - i , é:
 
a)-3i
b)1-i
c) 5/2 + (5/2)i
d) 5/2 - (3/2)i
e) ½ - (3/2)i

13 -UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i⁷ + i⁵ + ( i³ + 2i⁴ )² , obtêm-se:
 
a) -1+2i
b) 1+2i
c) 1 - 2i
d) 3 - 4i
e) 3 + 4i

14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
 
a) 1 e 10
b) 5 e 10
c) 7 e 9
d) 5 e 9
e) 0 e -9

15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö 13
b) Ö 7
c) 13
d) 7
e) 5

16 - FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z⁸ é igual a:
 
a) 16
b) 161
c) 32
d) 32i
e) 32+16i

17 - UCSal - Sabendo que (1+i)²² = 2i, então o valor da expressão
y = (1+i)⁴⁸ - (1+i)⁴⁹ é:
 
a) 1 + i
b) -1 + i
c) 2²⁴ . i
d) 2⁴⁸ . i
e) -2²⁴ . i 

Números Complexos

Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b²- 4ac) na resolução

 da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0).

 Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R). A partir daí, vários

 matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand 

os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica

 num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C.

Números Complexos

Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, 

o conjunto de pares ordenados, ou seja:

z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.

Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos

 escrever que:

z=(x,y)=x+yi

Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i ...

Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na

 forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:

x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z

Igualdade entre números complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam

 simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, 

se z₁=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁=z₂<==> a=c e b=d

Adição de números complexos
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente,

 as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z₂=c+di,

 temos que:

z₁+z₂=(a+c) + (b+d)

Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, 

separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim,

 se z=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁-z₂=(a-c) + (b-d)

Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)^1/2, então:
i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = i².i = -1.i = -i
i⁴ = i².i²=-1.-1=1
i⁵ = i⁴. 1=1.i= i
i⁶ = i⁵. i =i.i=i²=-1
i⁷ = i⁶. i =(-1).i=-i ......

Observamos que no desenvolvimento de iⁿ (n pertencente a N, 

com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades.

 Desta forma, para calcularmos iⁿ basta calcularmos i^r onde r é o resto 

da divisão de n por 4.

Exemplo:
i⁶³ => 63 / 4 dá resto 3, logo i⁶³=i³=-i

Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a 

multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i.

 Assim, se z₁=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁.z₂ = a.c + adi + bci + bdi²
z₁.z₂= a.c + bdi² = adi + bci
z₁.z₂= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i²= -1

Conjugado de um número complexo
Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z

 (representa-se por z^-) ==> z^-= a-bi

Exemplo:
z=3 - 5i ==> z^- = 3 + 5i
z = 7i ==> z^- = - 7i
z = 3 ==> z^- = 3

Divisão de números complexos
Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z₁= a + bi e z₂= c + di,

 temos que:
z₁ / z₂ = [z₁.z₂^-] / [z₂z₂^-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]

Módulo de um número complexo
Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a²+b²)^1/2, 

conhecido como ro

Interpretação geométrica
Como dissemos, no início, a interpretação geométrica dos números

 complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos 

o complexo z = a+bi da seguinte maneira

Forma polar dos números complexos
Da interpretação geométrica, temos que:


que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número

 complexo.

Operações na forma polar
Sejam z₁=ro₁(cos t₁₁) e z₂=ro₁(cos t₁+i sent₁). Então, temos que:

a)Multiplicação

Divisão


Potenciação


Radiciação


para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1

Números Complexos

 É o ramo da Matemática que investiga as propriedades dos números

 naturais ou inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Os números naturais 

surgem do processo de contagem e é impossível imaginar a

 humanidade desprovida da habilidade de contar. O conceito de

 número natural foi axiomatizado (axiomas são afirmações 

aceitas como verdades iniciais sem demonstração) em 1889 pelo 

matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), numa das

 primeiras manifestações da Axiomática Moderna e da Abstração

 Matemática. Os matemáticos estenderam os números naturais aos 

 inteiros, aos racionais, aos irracionais, aos complexos, aos quatérnios, 

aos octonions, aos números de Cayley, ... .

É impossível imaginar a Teoria dos Números desprovida 

da rica e poderosa Teoria das Funções de Uma Variável

 Complexa. Um dos exemplos mais importantes é a função

 de uma variável complexa denominada função Zeta de Riemann 

que dá informações sobre a distribuição dos números primos.

 Ela é definida por:

onde s = c + i d é um número complexo e c >1.

Essa função é a chave da demonstração do Teorema do Número 

Primo que afirma que o número , de primos p tais que p é menor

 ou igual a x, é aproximadamente

quando x é muito grande. Esse teorema foi conjeturado por Gauss

 e Legendre, e demonstrado por Hadamard e de La Vallée Poussin, 

em 1898.

A história dos números complexos revela-se fascinante. 

Registros históricos mostram que, em 2500 AC, os Sumérios

 já tinham necessidade da subtração. Os números que 

 conhecemos como inteiros negativos são resultados de certas

 subtrações. Por exemplo, em notação moderna, o resultado da 

subtração 5 – 10 é –5. Matemáticos não resistiram, ao longo

 da História, à pressão da curiosidade de multiplicar números 

negativos dando origem ao conjunto numérico que atualmente

 denominamos de conjunto dos Números Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3...}. 

Os Pitagóricos (550 AC) acreditavam que o mundo poderia ser 

compreendido por meio de razões da forma m/n (racionais) com  

m e n naturais e n distinto de zero. Contudo, esse modelo do mundo

 ruiu quando se descobriu que a medida da diagonal do 

quadrado, de lados medindo 1, é . Ora, não é razão

 de naturais! Além disso, os Pitagóricos descobriram muitos 

outros desse tipo: , , , , ... .

Portanto, por necessidades intrínsecas da investigação 

matemática, o universo dos números naturais foi expandido

 amplamente. Durante o desenvolvimento da Álgebra, na Idade Média

, os matemáticos italianos exploraram vários tipos de equações e 

 classificaram suas soluções. Essa investigação mostrou que algumas

 equações não possuíam solução em termos dos números conhecidos. 

Um dos problemas enfrentados consistia na solução da 

equação x² + 1 = 0. Essa equação não parecia ter solução, pois 

contrariava o fato de que todo número real distinto de zero, 

quando elevado ao quadrado, é positivo. Os matemáticos indianos

 e árabes, quando se deparavam com essas equações se recusavam

 a definir algum símbolo para expressar a raiz quadrada de um número

 negativo, pois consideravam o problema completamente sem

 sentido. No Século XVI, raízes quadradas de números negativos

 começaram a aparecer em textos algébricos, porém os autores frisavam

 que as expressões não possuíam significado e utilizavam termos 

tais como ”fictícias”, “impossíveis”, “sofisticadas”, para 

mencioná-las. O matemático alemão Leibniz (1646-1716), um dos 

inventores do Cálculo Diferencial, atribuía à raiz quadrada de –1 um

 certo caráter metafísico interpretando-a como uma manifestação 

do “Espírito Divino”; a mesma sensação de espanto sucedeu com o

 matemático suíço Lenhard Euler.

Alguns matemáticos europeus, em particular os italianos Gerolamo 

Cardano e Rafaello Bombelli, introduziram os números complexos na

 Álgebra, durante o Século XVI, quando eles assumiram a existência de 

raízes quadradas de números negativos, apesar de considerarem 

tais raízes “números impossíveis” e, assim, denominá-los 

“números imaginários”. Por esse motivo, até hoje perdura o nome 

de números imaginários quando nos referimos a raízes quadradas

 de números negativos. Postulando a existência de raízes quadradas

 de inteiros negativos, e assumindo que i é solução da 

equação x² + 1 = 0, ou seja, axiomatizando–se que i satisfaz a 

relação i² = –1, pode-se efetuar operações envolvendo i e os

 números reais. Dessa forma, para qualquer número real positivo a,

 a raiz quadrada do número negativo –a é i , ou seja, = i .

 Dados os números reais c e d, podemos multiplicar d por i 

e obter i d, e adicionar a c para obtermos c + i d. Em geral, qualquer número complexo é escrito como c + d i, onde c é denominado “parte real” e d “parte imaginária”. Portanto, obtemos números da forma c + i d formando o 

conjunto dos números complexos. No conjunto dos números 

complexos, podemos adicionar e multiplicar formando uma estrutura

 algébrica denominada corpo dos números complexos.

Os matemáticos costumam representar os números reais como pontos 

em uma reta denominada de reta real, onde a cada ponto corresponde

 um único número real e a cada número real associam um único ponto

 dessa reta. Como a raiz quadrada de um número negativo não pode ser representada nessa reta, persistiu um impasse até o Século XIX. O primeiro

 a propor uma visualização dos complexos identificando-os

 como pontos do plano bidimensional foi o autodidata norueguês 

Caspar Wessel em 1797. Essa idéia foi redescoberta por Jean-Robert Argand,

 um contador suíço, que publicou um livro em 1860 sobre o assunto,

 e também pelo genial matemático alemão Karl Friedrich Gauss. Como era impossível associar um ponto da reta real à raiz quadrada de um número negativo,

 a questão foi resolvida associando-se aos números imaginários pontos sobre

 uma reta perpendicular à reta real, passando pelo ponto zero, 

e dessa forma criando um sistema de coordenadas cartesianas. 

Nesse sistema, os números reais são colocados sobre o eixo horizontal, denominado eixo real, e todos os números imaginários sobre a reta 

perpendicular à reta real, passando pelo zero da reta real horizontal, 

denominado de eixo imaginário. Como = = i , 

todos os números imaginários podem ser colocados no eixo

 imaginário como múltiplos de i = . Portanto, não só os imaginários

 passam a ter uma representação gráfica, como as combinações 

possíveis de reais e imaginários, ou seja, os números complexos, são representados por pontos no plano definido pelos eixos real e

 imaginário, denominado plano complexo.

O talento e a genialidade de Gauss levaram a um dos resultados 

mais profundos da Matemática, o Teorema Fundamenta Álgebra,

 que afirma que toda equação polinomial possui solução no corpo 

dos números complexos. Além desse resultado importantíssimo, 

a álgebra dos números complexos originou uma nova área de 

investigação — a Análise Complexa — que tem um papel fundamental no desenvolvimento da Álgebra e da Teoria dos Números. Os números 

complexos representam uma das estruturas mais importantes 

da Ciência. Atualmente, é impossível imaginar a Engenharia

 Elétrica, a Aerodinâmica, ou a Dinâmica dos Fluidos, 

sem os números complexos. A Mecânica Quântica faz uso dos

 números complexos e, na Teoria da Relatividade de Einstein, 

 o espaço tridimensional é visto como real e a dimensão relativa ao

 tempo como imaginário.