Cubo

     

Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.

                               Af (base)= lado elevado ao quadrado.

A Área lateral: é dada pela área dos quadrados de lado a.

Al = 4 x lado ao quadrado. Área total: é dada pela área dos seis quadrados de lado a.                         At = 6x lado ao quadrado. Volume: Semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:                                                                                            V= lado elevado ao cubo.   Diagonais da base e do cubo:        dc= diagonal do cubo db =  diagonal da base       No triângulo  ABC, temos:  No triângulo ACE, temos:

Paralelepípedo:Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:

Paralelepípedo oblíquo:

Paralelepípedo reto:

      Se o paralelepípedo  reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.

 Paralelepípedo retângulo:

      

Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

      Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.

Diagonais da base e do paralelepípedo:

      

db = diagonal da base.                    dp = diagonal do paralelepípedo.

       
No triângulo ABF, observamos a diagonal da Base:

       
  
No triângulo AFD, observamosmos a diagonal do Paralelepípedo:

Área da Base: a.b


 Área lateral:

      
Sendo A_L a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

      A_L= ac + bc + ac + bc 
   A_L = 2.(ac + bc)

 
Área total:

     
 Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:

AT= 2.( ab + ac + bc)

Volume_: A unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:

      Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:

V = abc

     
Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base A_B pela medida da altura h:

Prisma

Prisma: é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

Prisma reto	Aspectos comuns	Prisma oblíquo
	Bases são regiões poligonais congruentes A altura é a distância entre as bases Arestas laterais são paralelas com as mesmas medidas Faces laterais são paralelogramos

Objeto	Prisma reto	Prisma oblíquo
Arestas laterais	têm a mesma medida	têm a mesma medida
Arestas laterais	são perpendiculares ao plano da base	são oblíquas ao plano da base
Faces laterais	são retangulares	não são retangulares

Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:

Prisma triangular	Prisma quadrangular	Prisma pentagonal	Prisma hexagonal
Base:Triângulo	Base:Quadrado	Base:Pentágono	Base:Hexágono

Seções de um prisma:

 

Seção transversal: É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.

Seção reta (seção normal): É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.

Princípio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.

Prisma regular: É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.

Exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.

Planificação do prisma:

Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das bases.

 

As faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é uma "superfície" que pode ser planificada no plano cartesiano. Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às bases. A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total.

*Recordamos que a altura de um prisma é a distância entre as duas bases. Se o prisma é reto, a altura coincide com o comprimento das arestas laterais.
 

Fómulas para cálculos de um Prisma:

ÁREA LATERAL =      N° DE FACES     x  ÁREA DE CADA FACE LATERAL.

ÁREA TOTAL =           ÁREA LATERAL +  2 x ÁREA DA BASE.

VOLUME =                   ÁREA DA BASE  x  ALTURA.

Conceito e Origem da Matemática

A Geometria Espacial, também chamada de Geometria euclidiana, é o ramo da matemática voltado para o estudo dos objetos espaciais (objetos que apresentam uma terceira dimensão, como cubos, pirâmides, prismas, etc.) e as propriedades relativas desses objetos. A Geometria Espacial é considerada uma ampliação da Geometria plana que, por sua vez, estuda objetos compostos somente por duas dimensões, como retas, curvas, segmentos de reta, pontos e etc.

Os primeiros registros de estudo da Geometria Espacial datam de aproximadamente dois mil anos antes de Cristo, pelos povos habitantes da mesopotâmia. Esses estudos foram encontrados em papiros e são a base de tudo que se sabe hoje sobre a Geometria Espacial. Dentre esses papiros, os que mais se destacam são o “papiro de Rhind” e o “papiro de Moscou”.

- Papiro de Moscou: Foi escrito por um escriba por volta de 1850 antes de Cristo. Devido à linguagem utilizada (hierático) e à degradação do documento, muitos dos seus 25 problemas matemáticos são impossíveis de serem interpretados. O Papiro de Moscou se tornou muito conhecido por conter uma espécie de fórmula para se calcular o tronco de uma pirâmide quadrada.

- Papiro de Rhind: Tem como título original “Instruções para conhecer todas as coisas secretas” e é considerado um dos documentos mais fundamentais e importantes sobre os conhecimentos matemáticos egípcios. O Papiro de Rhind é composto por uma série de informações sobre trigonometria, aritmética, equações, dentre outros.

A Origem e as Transformações da Geometria Espacial

A Geometria, após ser praticamente descoberta pelos povos egípcios, foi adotada pelos povos gregos que, por sua vez, atribuíram o nome GEOMETRIA (medida da terra) a essa área da matemática. Alguns filósofos e geômetras se destacam quando falamos do estudo da matemática na Grécia, como Pitágoras, Platão, Arquimedes e Euclides. Esse último foi responsável pela criação de um importantíssimo livro chamado Elementos, que sintetizava todas as informações acumuladas sobre os estudos geométricos até então descobertas.

Na Idade Média, durante o período de trevas, diversas áreas do conhecimento passaram por uma estagnação e assim foi com a Geometria Espacial. Foi somente durante o Renascimento que matemáticos como Leonardo Fibonacci e René Descartes voltaram-se novamente para o estudo da Geometria Espacial. Em 1669, Isaac Newton desenvolve o “cálculo diferencial e integral”, que possibilitava calcular área e volume de qualquer figura geométrica, sem importar seu formato.

A Geometria Espacial passou por mais uma série de transformações e descobertas até chegar ao que hoje: uma das áreas mais fundamentais e práticas da matemática, estando envolvida em diversas empreitadas da humanidade, seja um simples cálculo em uma sala de aula ou a construção de um importante prédio de negócios.