terça-feira, 6 de novembro de 2012
Exercícios
Teste seus conhecimentos!!!!
Tente responder e compare suas respostas com o gabarito.
1 (PMDF) Em uma escola, os alunos foram levados
ao laboratório para a realização de uma experiência,
a de determinar o volume de uma pedra,
imergindo-a na água de um recipiente. A experiência
consistia em submergir completamente a
pedra e medir a variação da altura da água no recipiente.
Após a experiência, os alunos anotaram
que a variação da altura da água foi de 3 cm e que
o recipiente tinha a forma de um paralelepípedo
retângulo, medindo 80cmx50cmx40cm, mas não
anotaram qual dessas três medidas correspondia à
altura do recipiente. Mesmo sem essa informação,
foi possível concluir que o volume máximo
da pedra, em litros, era de:
a) 23,2.
b) 20,4.
c) 17,6.
d) 14,8.
e) 12.
2 Um determinado bloco utilizado em construções
tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo,
cujas dimensões são 25cm, 15cm e 10cm. Pretende-
se transportar blocos desse tipo num caminhão
cuja carroceria tem, internamente, 4m de
comprimento por 2,5m de largura e 0,6m de profundidade.
No máximo, quantos blocos podem
ser transportados numa viagem, de modo que a
carga não ultrapasse a altura da carroceria?
a) 1600.
b) 1500.
c) 1400.
d) 1300.
e) 1200.
3 Um aquário tem a forma de um paralelepípedo
reto-retângulo e contém água até uma certa altura.
As medidas internas da base do aquário são
40cm por 25cm. Uma pedra é colocada dentro do
aquário, ficando totalmente submersa e fazendo
com que o nível da água suba 0,8cm. Qual é o
volume dessa pedra?
0,8cm
a) 100cm3.
b) 800cm3.
c) 1200cm3.
d) 400cm3.
e) 600cm
4 Uma face de um cubo tem área 81cm2. Seu volume
é:
a) 9cm3.
b) 81cm3.
c) 180cm3.
d) 243cm3.
e) 729cm3.
5(UFMT) Em um paralelepípedo retângulo com
4cm de altura, a base tem comprimento cuja medida
é igual ao dobro da medida da largura. Se
esse sólido tem 64cm2 de área total, o seu volume,
em centímetros quadrados, é?
a) 24. b) 30.
c) 32. d) 40.
e) 48.
7 (FAFI-MG) As dimensões de uma piscina olímpica
são: 50m de comprimento, 25m de largura e
3m de profundidade. O seu volume, em litros, é:
a) 3750. b) 37500.
c) 375000. d) 3750000.
e) 37500000.
8 (CESCEA-SP) Se a soma das arestas de um cubo
é igual a 72cm, então o volume do cubo é igual
a:
a) 100cm3. b) 40cm3.
c) 144cm3. d) 16cm3.
e) 216cm3.
9 (FUVEST-SP) Dois blocos de alumínio, em
forma de cubo, com arestas medindo 10cm e
6cm, são levados juntos à fusão e, em seguida, o
alumínio é moldado como um paralelepípedo reto-
retângulo de arestas 8cm, 8cm e xcm. O valor
de x é:
a) 16. b) 17.
c) 18. d) 19.
e) 20.
Gabarito 1 E,2 A,3 B,4 E,5 C,6 D,7 E,8 D.
10) (UFMG) Achar a área total da superfície de um cilindro reto, sabendo que o raio da base é de 10cm e a altura é de 20cm.Resp. → At = 1.884cm2
11) A pirâmide de Quéops, conhecida como a Grande Pirâmide, tem cerca de 230m de aresta na base e
altura aproximada de 147m. Qual é o seu volume? Resp. → V = 2.592.100m3
12) A casquinha de um sorvete tem a forma de um cone reto. Sabendo que o raio da base mede 3cm e a
altura é de 12cm. Qual é o volume da casquinha? Resp. → V = 113,040m3
13) (FFT) Considere a Terra como uma esfera de raio 6.370km. Qual é sua área superficial? Descobrir a
área da superfície coberta de água, sabendo que ela corresponde a aproximadamente 3/4 da superfície
total. Resp. → Aa ≈ 382.234.398 km2.
14) Um líquido que está num recipiente em forma de cone será despejado em outro recipiente que possui
forma cilíndrica. Se o raio da base dos dois recipientes for 25 cm e a altura dos dois for 1m, que altura
atingirá o líquido no cilindro? Resp. → h= 1/3 m.
15) Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 20 cm. Com essa cartolina, um menino
constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do
chapéu à mesa? Dica = com um semi-círculo se origina um cone eqüilátero. Resp. → h= 10 (raíz de 3) c m.
16) As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem
altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone. Resp. → h= 18 c m.
17) Uma pirâmide tem a altura medindo 30 cm e área da base igual a 150 cm². Qual é a área da seção superior
do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendose
que a altura do tronco da pirâmide é 17 cm? Resp. → AS = 28,17 c m².
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1 - (PUC – Camp) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede 2√3cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é
Gabarito Letra: C
2 - (ITA - SP) A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4m e de área da base 64m² vale:
a)128 m²
b)64√2 m²
c)135 m²
d)60√5 m²
e)32(√2+1) m²
Resolução:
Ap = √32
Ap = 4√2
A área de cada face lateral será:
A = b.h
2
Gabarito Letra: B
Tente responder e compare suas respostas com o gabarito.
1 (PMDF) Em uma escola, os alunos foram levados
ao laboratório para a realização de uma experiência,
a de determinar o volume de uma pedra,
imergindo-a na água de um recipiente. A experiência
consistia em submergir completamente a
pedra e medir a variação da altura da água no recipiente.
Após a experiência, os alunos anotaram
que a variação da altura da água foi de 3 cm e que
o recipiente tinha a forma de um paralelepípedo
retângulo, medindo 80cmx50cmx40cm, mas não
anotaram qual dessas três medidas correspondia à
altura do recipiente. Mesmo sem essa informação,
foi possível concluir que o volume máximo
da pedra, em litros, era de:
a) 23,2.
b) 20,4.
c) 17,6.
d) 14,8.
e) 12.
2 Um determinado bloco utilizado em construções
tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo,
cujas dimensões são 25cm, 15cm e 10cm. Pretende-
se transportar blocos desse tipo num caminhão
cuja carroceria tem, internamente, 4m de
comprimento por 2,5m de largura e 0,6m de profundidade.
No máximo, quantos blocos podem
ser transportados numa viagem, de modo que a
carga não ultrapasse a altura da carroceria?
a) 1600.
b) 1500.
c) 1400.
d) 1300.
e) 1200.
3 Um aquário tem a forma de um paralelepípedo
reto-retângulo e contém água até uma certa altura.
As medidas internas da base do aquário são
40cm por 25cm. Uma pedra é colocada dentro do
aquário, ficando totalmente submersa e fazendo
com que o nível da água suba 0,8cm. Qual é o
volume dessa pedra?
0,8cm
a) 100cm3.
b) 800cm3.
c) 1200cm3.
d) 400cm3.
e) 600cm
4 Uma face de um cubo tem área 81cm2. Seu volume
é:
a) 9cm3.
b) 81cm3.
c) 180cm3.
d) 243cm3.
e) 729cm3.
5(UFMT) Em um paralelepípedo retângulo com
4cm de altura, a base tem comprimento cuja medida
é igual ao dobro da medida da largura. Se
esse sólido tem 64cm2 de área total, o seu volume,
em centímetros quadrados, é?
a) 24. b) 30.
c) 32. d) 40.
e) 48.
7 (FAFI-MG) As dimensões de uma piscina olímpica
são: 50m de comprimento, 25m de largura e
3m de profundidade. O seu volume, em litros, é:
a) 3750. b) 37500.
c) 375000. d) 3750000.
e) 37500000.
8 (CESCEA-SP) Se a soma das arestas de um cubo
é igual a 72cm, então o volume do cubo é igual
a:
a) 100cm3. b) 40cm3.
c) 144cm3. d) 16cm3.
e) 216cm3.
9 (FUVEST-SP) Dois blocos de alumínio, em
forma de cubo, com arestas medindo 10cm e
6cm, são levados juntos à fusão e, em seguida, o
alumínio é moldado como um paralelepípedo reto-
retângulo de arestas 8cm, 8cm e xcm. O valor
de x é:
a) 16. b) 17.
c) 18. d) 19.
e) 20.
Gabarito 1 E,2 A,3 B,4 E,5 C,6 D,7 E,8 D.
10) (UFMG) Achar a área total da superfície de um cilindro reto, sabendo que o raio da base é de 10cm e a altura é de 20cm.Resp. → At = 1.884cm2
11) A pirâmide de Quéops, conhecida como a Grande Pirâmide, tem cerca de 230m de aresta na base e
altura aproximada de 147m. Qual é o seu volume? Resp. → V = 2.592.100m3
12) A casquinha de um sorvete tem a forma de um cone reto. Sabendo que o raio da base mede 3cm e a
altura é de 12cm. Qual é o volume da casquinha? Resp. → V = 113,040m3
13) (FFT) Considere a Terra como uma esfera de raio 6.370km. Qual é sua área superficial? Descobrir a
área da superfície coberta de água, sabendo que ela corresponde a aproximadamente 3/4 da superfície
total. Resp. → Aa ≈ 382.234.398 km2.
14) Um líquido que está num recipiente em forma de cone será despejado em outro recipiente que possui
forma cilíndrica. Se o raio da base dos dois recipientes for 25 cm e a altura dos dois for 1m, que altura
atingirá o líquido no cilindro? Resp. → h= 1/3 m.
15) Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 20 cm. Com essa cartolina, um menino
constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do
chapéu à mesa? Dica = com um semi-círculo se origina um cone eqüilátero. Resp. → h= 10 (raíz de 3) c m.
16) As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem
altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone. Resp. → h= 18 c m.
17) Uma pirâmide tem a altura medindo 30 cm e área da base igual a 150 cm². Qual é a área da seção superior
do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendose
que a altura do tronco da pirâmide é 17 cm? Resp. → AS = 28,17 c m².
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1 - (PUC – Camp) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede 2√3cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é
a) 24√3
b) 36√3
c) 48√3
d) 72√3
e) 144√3
Resolução:
O volume da pirâmide é:
Vp = Ab.h
3
Precisamos da área da base para achar o volume.
Têmos na base um hexágono regular, já
que a pirâmide é regular. O lado desse hexágono com todos os lados iguais é 2√3cm
e sua área será:
A = 6.L²√3
4
A = 6.(2√3)²√3
4
A = 6.4.3√3
4
A = 18√3cm²
Agora fica fácil
determinar o volume da pirâmide:
Vp = 18√3.8
3
Vp = 48√3cm³
2 - (ITA - SP) A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4m e de área da base 64m² vale:
a)128 m²
b)64√2 m²
c)135 m²
d)60√5 m²
e)32(√2+1) m²
Resolução:
Na questão, como a pirâmide é
quadrangular regular, sua base é um quadrado, com área 64m², já que a
área do quadrado é lado ao quadrado, esse lado será 8:
Perceba
que a altura que a questão fornece na pergunta é a altura da pirâmide,
para a área lateral precisamos encontrar a altura da face, que é a
apótema da pirâmide. Fazendo pitágoras entre a altura do triângulo, a
apótema da base e a apótema da pirâmide, encontramos a altura dessa
face:
Ap² = 4²+4²Ap = √32
Ap = 4√2
A área de cada face lateral será:
A = b.h
2
A = 8.4√2
2
A = 16√2 m²
2
A = 16√2 m²
A área lateral será a soma das áreas de todas as quatro faces laterais, que são iguais.
A = 4.16√2 m²
Alateral = 64√2 m²
A = 4.16√2 m²
Alateral = 64√2 m²
Cone
Cone
Cone circular
Dado um círculo C, contido num plano
,
e um ponto V ( vértice) fora de ,
chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos 
.
Elementos do cone circular
Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:
Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.
Cone circular
Dado um círculo C, contido num plano
,
e um ponto V ( vértice) fora de ,
chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos .Elementos do cone circular
Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:
-
altura: distância h do vértice V ao plano
-
geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência
-
raio da base: raio R do círculo
-
eixo de rotação:reta
determinada
pelo centro do círculo e pelo vértice do cone
Cone reto
Todo
cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto,
também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela
rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
Da figura, e
pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:
| g2 = h2 + R2 |
Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.
Se o
triângulo AVB for equilátero, o cone também será equilátero:
 |
 |
Áreas
Desenvolvendo a superfície lateral de um cone
circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento 
:
:
Assim,
temos de considerar as seguintes áreas:
a) área lateral (AL):
área do setor circular
b) área da base (AB):área
do circulo do raio R
c) área total (AT):soma da
área lateral com a área da base
Volume
Para
determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de
revolução. Observe a figura:
 |
d = distância do centro de
gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e
S=área da superfície
|
Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície gira em
torno de um eixo e, gera um volume tal que:
Vamos,
então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um
triângulo retângulo em torno do cateto h:
O
CG do triângulo está a uma distância 
do eixo de rotação. Logo:
do eixo de rotação. Logo:Cilindro
Cilindro
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,
,
um círculo R contido em
e uma reta r que intercepta ,
mas não R:
Elementos do cilindro
No
caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio r
;
portanto seu volume é:
Cilindro equilátero
Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro equilátero.
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,
,
um círculo R contido em
e uma reta r que intercepta ,
mas não R:
Para cada
ponto C da região R, vamos considerar o segmento 
,
paralelo à reta r 
:
,
paralelo à reta r :
Logo, temos:
Chamamos de cilindro,
ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos
congruentes e paralelos a r.
congruentes e paralelos a r.Elementos do cilindro
Dado
o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:
-
bases: os círculos de centro O e O'e raios r
-
altura: a distância h entre os planos
-
geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo,
)
e paralelo à reta rClassificação do Cilindro -
circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;
-
circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.
 |
| Oblíquo e Reto respectivamente. |
O cilindro
circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela
rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do
retângulo ABCD pelo lado 
gera o cilindro a seguir:
gera o cilindro a seguir:
A reta 
contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.
contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.
Secção
Secção
transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano
paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.
Secção
meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano
que contém o eixo.
Áreas
a) área lateral (AL)
Podemos observar a
área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:
Assim, a área
lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das
bases são r é um retângulo de dimensões 
:
: |
b) área da base ( AB):área
do círculo de raio r
 |
c) área total ( AT): soma
da área lateral com as áreas das bases
 |
Volume
Dados
dois sólidos com mesma altura e um plano ,
se todo plano 
,
paralelo ao plano ,
intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm
volumes iguais:
,
se todo plano ,
paralelo ao plano ,
intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm
volumes iguais:
Se
1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o
produto da área da base pela medida de sua altura:
| Vcilindro = ABh |
;portanto seu volume é:
Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro equilátero.
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