Pirâmides

Pirâmides: É o conjunto de todos os segmentos dados por um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de .

Elementos da pirâmide:

         

• Base: o polígono convexo R;
  
  
• Arestas da base: os lados do polígono;
  
  
• Arestas laterais: os segmentos ;
• Faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA;
  
  
• Altura: distância h do ponto V ao plano.

Classificação:  

        

        Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.

        Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.

        

*Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).

 * A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.

  

Secção paralela à base de uma pirâmide

  Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:

• as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
• a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
• as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.

Relações entre os elementos de uma pirâmide regular




Numa pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:

  Temos:

•  A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.

A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles. Os triângulos VOB e VOM são retângulos.  Volume     1/3 . Ab.h  Áreas Numa pirâmide, temos as seguintes áreas: a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais b) área da base ( AB): área do polígono convexo ( base da pirâmide) c) área total (AT): união da área lateral com a área da base AT = AL +AB          Para uma pirâmide regular, temos: b é a aresta, g é o apótema, n é o número de arestas laterais,p é o semiperíme e a é o apótema do polígono.   Troncos           Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.          Tronco da pirâmide         Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos: as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles congruentes. Áreas         a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais b) área total (AT): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (Ab) e maior (AB) AT =AL+AB+Ab Volume        O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:         Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:      AT =AL+AB+Ab AT =AL+AB+Ab