Números Complexos

 É o ramo da Matemática que investiga as propriedades dos números

 naturais ou inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Os números naturais 

surgem do processo de contagem e é impossível imaginar a

 humanidade desprovida da habilidade de contar. O conceito de

 número natural foi axiomatizado (axiomas são afirmações 

aceitas como verdades iniciais sem demonstração) em 1889 pelo 

matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), numa das

 primeiras manifestações da Axiomática Moderna e da Abstração

 Matemática. Os matemáticos estenderam os números naturais aos 

 inteiros, aos racionais, aos irracionais, aos complexos, aos quatérnios, 

aos octonions, aos números de Cayley, ... .

É impossível imaginar a Teoria dos Números desprovida 

da rica e poderosa Teoria das Funções de Uma Variável

 Complexa. Um dos exemplos mais importantes é a função

 de uma variável complexa denominada função Zeta de Riemann 

que dá informações sobre a distribuição dos números primos.

 Ela é definida por:

onde s = c + i d é um número complexo e c >1.

Essa função é a chave da demonstração do Teorema do Número 

Primo que afirma que o número , de primos p tais que p é menor

 ou igual a x, é aproximadamente

quando x é muito grande. Esse teorema foi conjeturado por Gauss

 e Legendre, e demonstrado por Hadamard e de La Vallée Poussin, 

em 1898.

A história dos números complexos revela-se fascinante. 

Registros históricos mostram que, em 2500 AC, os Sumérios

 já tinham necessidade da subtração. Os números que 

 conhecemos como inteiros negativos são resultados de certas

 subtrações. Por exemplo, em notação moderna, o resultado da 

subtração 5 – 10 é –5. Matemáticos não resistiram, ao longo

 da História, à pressão da curiosidade de multiplicar números 

negativos dando origem ao conjunto numérico que atualmente

 denominamos de conjunto dos Números Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3...}. 

Os Pitagóricos (550 AC) acreditavam que o mundo poderia ser 

compreendido por meio de razões da forma m/n (racionais) com  

m e n naturais e n distinto de zero. Contudo, esse modelo do mundo

 ruiu quando se descobriu que a medida da diagonal do 

quadrado, de lados medindo 1, é . Ora, não é razão

 de naturais! Além disso, os Pitagóricos descobriram muitos 

outros desse tipo: , , , , ... .

Portanto, por necessidades intrínsecas da investigação 

matemática, o universo dos números naturais foi expandido

 amplamente. Durante o desenvolvimento da Álgebra, na Idade Média

, os matemáticos italianos exploraram vários tipos de equações e 

 classificaram suas soluções. Essa investigação mostrou que algumas

 equações não possuíam solução em termos dos números conhecidos. 

Um dos problemas enfrentados consistia na solução da 

equação x² + 1 = 0. Essa equação não parecia ter solução, pois 

contrariava o fato de que todo número real distinto de zero, 

quando elevado ao quadrado, é positivo. Os matemáticos indianos

 e árabes, quando se deparavam com essas equações se recusavam

 a definir algum símbolo para expressar a raiz quadrada de um número

 negativo, pois consideravam o problema completamente sem

 sentido. No Século XVI, raízes quadradas de números negativos

 começaram a aparecer em textos algébricos, porém os autores frisavam

 que as expressões não possuíam significado e utilizavam termos 

tais como ”fictícias”, “impossíveis”, “sofisticadas”, para 

mencioná-las. O matemático alemão Leibniz (1646-1716), um dos 

inventores do Cálculo Diferencial, atribuía à raiz quadrada de –1 um

 certo caráter metafísico interpretando-a como uma manifestação 

do “Espírito Divino”; a mesma sensação de espanto sucedeu com o

 matemático suíço Lenhard Euler.

Alguns matemáticos europeus, em particular os italianos Gerolamo 

Cardano e Rafaello Bombelli, introduziram os números complexos na

 Álgebra, durante o Século XVI, quando eles assumiram a existência de 

raízes quadradas de números negativos, apesar de considerarem 

tais raízes “números impossíveis” e, assim, denominá-los 

“números imaginários”. Por esse motivo, até hoje perdura o nome 

de números imaginários quando nos referimos a raízes quadradas

 de números negativos. Postulando a existência de raízes quadradas

 de inteiros negativos, e assumindo que i é solução da 

equação x² + 1 = 0, ou seja, axiomatizando–se que i satisfaz a 

relação i² = –1, pode-se efetuar operações envolvendo i e os

 números reais. Dessa forma, para qualquer número real positivo a,

 a raiz quadrada do número negativo –a é i , ou seja, = i .

 Dados os números reais c e d, podemos multiplicar d por i 

e obter i d, e adicionar a c para obtermos c + i d. Em geral, qualquer número complexo é escrito como c + d i, onde c é denominado “parte real” e d “parte imaginária”. Portanto, obtemos números da forma c + i d formando o 

conjunto dos números complexos. No conjunto dos números 

complexos, podemos adicionar e multiplicar formando uma estrutura

 algébrica denominada corpo dos números complexos.

Os matemáticos costumam representar os números reais como pontos 

em uma reta denominada de reta real, onde a cada ponto corresponde

 um único número real e a cada número real associam um único ponto

 dessa reta. Como a raiz quadrada de um número negativo não pode ser representada nessa reta, persistiu um impasse até o Século XIX. O primeiro

 a propor uma visualização dos complexos identificando-os

 como pontos do plano bidimensional foi o autodidata norueguês 

Caspar Wessel em 1797. Essa idéia foi redescoberta por Jean-Robert Argand,

 um contador suíço, que publicou um livro em 1860 sobre o assunto,

 e também pelo genial matemático alemão Karl Friedrich Gauss. Como era impossível associar um ponto da reta real à raiz quadrada de um número negativo,

 a questão foi resolvida associando-se aos números imaginários pontos sobre

 uma reta perpendicular à reta real, passando pelo ponto zero, 

e dessa forma criando um sistema de coordenadas cartesianas. 

Nesse sistema, os números reais são colocados sobre o eixo horizontal, denominado eixo real, e todos os números imaginários sobre a reta 

perpendicular à reta real, passando pelo zero da reta real horizontal, 

denominado de eixo imaginário. Como = = i , 

todos os números imaginários podem ser colocados no eixo

 imaginário como múltiplos de i = . Portanto, não só os imaginários

 passam a ter uma representação gráfica, como as combinações 

possíveis de reais e imaginários, ou seja, os números complexos, são representados por pontos no plano definido pelos eixos real e

 imaginário, denominado plano complexo.

O talento e a genialidade de Gauss levaram a um dos resultados 

mais profundos da Matemática, o Teorema Fundamenta Álgebra,

 que afirma que toda equação polinomial possui solução no corpo 

dos números complexos. Além desse resultado importantíssimo, 

a álgebra dos números complexos originou uma nova área de 

investigação — a Análise Complexa — que tem um papel fundamental no desenvolvimento da Álgebra e da Teoria dos Números. Os números 

complexos representam uma das estruturas mais importantes 

da Ciência. Atualmente, é impossível imaginar a Engenharia

 Elétrica, a Aerodinâmica, ou a Dinâmica dos Fluidos, 

sem os números complexos. A Mecânica Quântica faz uso dos

 números complexos e, na Teoria da Relatividade de Einstein, 

 o espaço tridimensional é visto como real e a dimensão relativa ao

 tempo como imaginário.