Exercícios Resolvidos

1 - Sejam os complexos z₁=(2x+1) + yi e z₂=-y + 2i
Determine x e y de modo que z₁ + z₂ = 0
Temos que:
z₁ + z₂ = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2

2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i²
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2

3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z^- = 11/58 - 13i/58

4 - Os módulos de z₁ = x + 20^1/2i e z₂= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?
Então, |z₁= (x² + 20)^1/2 = |z₂ = [(x-2)² + 36}^1/2
Em decorrência,
x² + 20 = x² - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5

5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i² = (-i -i²) = 1 - i
Para a forma trigonométrica, temos que:
r = (1 + 1)^1/2 = 2^1/2
sen t = -1/2^1/2 = - 2^1/2 / 2
cos t = 1 / 2^1/2 = 2^1/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 2^1/2 ( cos 315º + i sen 315º )

06. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:

a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i


07. Se f(z) = z² - z + 1, então f(1 - i) é igual a:

a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i


08. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i² = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)⁴ é um número real?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos


09. Sendo i a unidade imaginária o valor de i¹⁰ + i^-100 é:

a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1


10. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )^-2 é igual a:

a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2

11. A potência (1 - i )¹⁶ equivale a:

a) 8
b) 16 - 4i
c) 16 - 16i
d) 256 - 16i
e) 256

12. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z₁ . z₂|² = 10 então x é igual a:

a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1

13. O módulo do complexo cos a - i . sen a é:

a) -1
b) -i
c) i
d) i4
e) i5

14. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.

3 - 2i; -3 + 2i

15. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x⁸ - 17x⁴ + 16 = 0.

V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}

 
1 - Calcule o número complexo i¹²⁶ + i^-126 + i³¹ - i¹⁸⁰

-3 - i

2 - Sendo z = 5i + 3i² - 2i³ + 4i²⁷ e w = 2i¹² - 3i¹⁵ ,
 
calcule Im(z).w + Im(w).z .

 -3 + 18i

3 - UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z + = 12 + 6i é:
4 + 3i 

4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser:
  3/2

5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:
 -2 + 18i
6) i
7) 3
8) 1 + 2i
9) 50
10) 32i
11) -1 - i


6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹ é:
  i
7) Determine o número natural n tal que (2i)ⁿ + (1 + i)²ⁿ + 16i = 0.
Resp: 3
Clique aqui para ver a solução.

8) Calcule [(1+i)⁸⁰ + (1+i)⁸²] : i⁹⁶.2⁴⁰ 
Resp: 1+2i

9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w é um número real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b² - 2a.
 
Resp: 50

10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x¹⁰ + a = 0 , então calcule o valor de a.
 
Resp: 32i

11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 . + 1 - i = 0. 
Resp: -1 - i


12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x^-1 + x², para x = 1 - i , é:
 
a)-3i
b)1-i
c) 5/2 + (5/2)i
d) 5/2 - (3/2)i
e) ½ - (3/2)i

13 -UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i⁷ + i⁵ + ( i³ + 2i⁴ )² , obtêm-se:
 
a) -1+2i
b) 1+2i
c) 1 - 2i
d) 3 - 4i
e) 3 + 4i

14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
 
a) 1 e 10
b) 5 e 10
c) 7 e 9
d) 5 e 9
e) 0 e -9

15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö 13
b) Ö 7
c) 13
d) 7
e) 5

16 - FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z⁸ é igual a:
 
a) 16
b) 161
c) 32
d) 32i
e) 32+16i

17 - UCSal - Sabendo que (1+i)²² = 2i, então o valor da expressão
y = (1+i)⁴⁸ - (1+i)⁴⁹ é:
 
a) 1 + i
b) -1 + i
c) 2²⁴ . i
d) 2⁴⁸ . i
e) -2²⁴ . i