Cilindro

Cilindro
       
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,, um círculo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R:

      Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :

      Logo, temos:

      Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos congruentes e paralelos a r.

 
Elementos do cilindro

       

       Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:

• bases: os círculos de centro O e O'e raios r
• altura: a distância h entre os planos
• geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo, ) e paralelo à reta r
  
  
  
  
      
  Classificação do Cilindro
      
• circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;
• circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.
  
  

Oblíquo e Reto respectivamente.

   

      O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado gera o cilindro a seguir:

      A reta contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.

Secção

       

     Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.

      Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.

Áreas

      

a) área lateral (A_L)

    

 Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

      Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões :

b) área da base ( A_B):área do círculo de raio r

c) área total ( A_T): soma da área lateral com as áreas das bases

Volume

       

     Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo ao plano , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

         Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V₂ = A_Bh.

         Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura:

Vcilindro = ABh

          No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio r ;
portanto seu volume é:

Cilindro equilátero
      
 Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro equilátero.

Esfera

Esfera 

     Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.

     Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

Volume

   O volume da esfera de raio R  é dado por:

Partes da esfera

Superfície esférica

    

A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.

   Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

        Área:     

 

   

Zona esférica

    

É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

  

    A área da zona esférica é dada por:

Calota esférica

  

 É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

    A área da calota esférica é dada por:

Fuso esférico

  

O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo em torno de seu eixo:

   A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

Cunha esférica

   

 Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo :

    O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:

Pirâmides

Pirâmides: É o conjunto de todos os segmentos dados por um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de .

Elementos da pirâmide:

         

• Base: o polígono convexo R;
  
  
• Arestas da base: os lados do polígono;
  
  
• Arestas laterais: os segmentos ;
• Faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA;
  
  
• Altura: distância h do ponto V ao plano.

Classificação:  

        

        Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.

        Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.

        

*Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).

 * A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.

  

Secção paralela à base de uma pirâmide

  Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:

• as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
• a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
• as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.

Relações entre os elementos de uma pirâmide regular




Numa pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:

  Temos:

•  A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.

A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles. Os triângulos VOB e VOM são retângulos.  Volume     1/3 . Ab.h  Áreas Numa pirâmide, temos as seguintes áreas: a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais b) área da base ( AB): área do polígono convexo ( base da pirâmide) c) área total (AT): união da área lateral com a área da base AT = AL +AB          Para uma pirâmide regular, temos: b é a aresta, g é o apótema, n é o número de arestas laterais,p é o semiperíme e a é o apótema do polígono.   Troncos           Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.          Tronco da pirâmide         Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos: as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles congruentes. Áreas         a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais b) área total (AT): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (Ab) e maior (AB) AT =AL+AB+Ab Volume        O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:         Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:      AT =AL+AB+Ab AT =AL+AB+Ab