Esfera

Esfera 

     Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.

     Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

Volume

   O volume da esfera de raio R  é dado por:

Partes da esfera

Superfície esférica

    

A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.

   Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

        Área:     

 

   

Zona esférica

    

É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

  

    A área da zona esférica é dada por:

Calota esférica

  

 É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

    A área da calota esférica é dada por:

Fuso esférico

  

O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo em torno de seu eixo:

   A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

Cunha esférica

   

 Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo :

    O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:

Pirâmides

Pirâmides: É o conjunto de todos os segmentos dados por um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de .

Elementos da pirâmide:

         

• Base: o polígono convexo R;
  
  
• Arestas da base: os lados do polígono;
  
  
• Arestas laterais: os segmentos ;
• Faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA;
  
  
• Altura: distância h do ponto V ao plano.

Classificação:  

        

        Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.

        Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.

        

*Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).

 * A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.

  

Secção paralela à base de uma pirâmide

  Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:

• as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
• a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
• as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.

Relações entre os elementos de uma pirâmide regular




Numa pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:

  Temos:

•  A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.

A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles. Os triângulos VOB e VOM são retângulos.  Volume     1/3 . Ab.h  Áreas Numa pirâmide, temos as seguintes áreas: a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais b) área da base ( AB): área do polígono convexo ( base da pirâmide) c) área total (AT): união da área lateral com a área da base AT = AL +AB          Para uma pirâmide regular, temos: b é a aresta, g é o apótema, n é o número de arestas laterais,p é o semiperíme e a é o apótema do polígono.   Troncos           Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.          Tronco da pirâmide         Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos: as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles congruentes. Áreas         a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais b) área total (AT): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (Ab) e maior (AB) AT =AL+AB+Ab Volume        O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:         Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:      AT =AL+AB+Ab AT =AL+AB+Ab

Cubo

     

Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.

                               Af (base)= lado elevado ao quadrado.

A Área lateral: é dada pela área dos quadrados de lado a.

Al = 4 x lado ao quadrado. Área total: é dada pela área dos seis quadrados de lado a.                         At = 6x lado ao quadrado. Volume: Semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:                                                                                            V= lado elevado ao cubo.   Diagonais da base e do cubo:        dc= diagonal do cubo db =  diagonal da base       No triângulo  ABC, temos:  No triângulo ACE, temos:

Paralelepípedo:Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:

Paralelepípedo oblíquo:

Paralelepípedo reto:

      Se o paralelepípedo  reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.

 Paralelepípedo retângulo:

      

Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

      Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.

Diagonais da base e do paralelepípedo:

      

db = diagonal da base.                    dp = diagonal do paralelepípedo.

       
No triângulo ABF, observamos a diagonal da Base:

       
  
No triângulo AFD, observamosmos a diagonal do Paralelepípedo:

Área da Base: a.b


 Área lateral:

      
Sendo A_L a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

      A_L= ac + bc + ac + bc 
   A_L = 2.(ac + bc)

 
Área total:

     
 Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:

AT= 2.( ab + ac + bc)

Volume_: A unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:

      Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:

V = abc

     
Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base A_B pela medida da altura h: